怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。

例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。

例2将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

例4将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何

以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。

容易得到下图所示的分割与拼接的方法。

例6用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。

分析与解：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。

【我的思路】 还是用计算+推理辅助思考的办法。

首先，把每个小正方形边长看作一个长度单位，则这个图形的面积是5个面积单位；把这样一个图形切割后拼接成一个大正方形，其面积自然还是5个单位，那么5个面积单位的大正方形边长是多少呢？应该在2和3之间。

这个结论看似没什么用，实际却意义重大：它启示了我们探索思考的方向：

首先，既然大正方形的边长在2~3之间，那么我们通过简单地水平或垂直分割得到大正方形的可能性就不大，因为水平或垂直分割，只能得到边长要么是3个单位要么是2个单位的形状，所以应该我们放弃在这个方向上的无谓尝试，而专注于探索的以斜线方向剪裁原图。

其次，如果我们熟悉勾股定理（这个好像不在初一数学正常范围内），我们就很容易想到，一个面积为5的正方形的边长，它和两个直边分别为1和2的三角形斜边是相等的，而在原图中，我们很容易通过作图得到这样长度的线段，如下图所示：

至此，我们连斜线的准确裁法也确定了，接下来的工作就是尝试怎样用两刀完成工作。我是这样考虑的：虽然我们找到了与大正方形边长一样的线段（如上图），但这个线段不可能直接拿来做正方形外边，因为这样的形状会带一个钝角，还需要进一步切割（如下力）。

所以，一定是通过某种方式得到回避了钝角的形状，答案如下图所示：

【思考题】 我用两刀完成了工作，你能说出用3刀、4刀分割的方法吗？

古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。”

1、他结婚时的年龄是多少？
2、他去世时的年龄是多少？

首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：

用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。

对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：

一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。

对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。接下来：

用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方程式。

这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：

把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。

这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：

分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x

那么剩下的事情就简单了：

用方程解决问题的第三步：解方程。

解方程也是有现成的套路的，用方程解决问题简单就简单在：你只需要按既定套路按部就班地去思考，而不必像用数学方法解题那样，需要想清楚全部的数学逻辑和数量关系。再回顾一下解方程的套路：

解方程的方法是：
（1）有分母去分母；
（2）有括号去括号；
（3）分母、括号都去完后，合并同类项；
（4）将未知数的系数化 1 ，求出 x 的具体值。

本题没有括号问题，只需要去分母。具体做法可以灵活些，比如，先等式两边同乘以12，化为：

2x+x+12/7x+60+6x+48 = 12x 简单整理：
12/7x+108 = 3x 两边同乘以 7 ：
12x+756 = 21x 合并同类项：
9x = 756 未知数系统化 1 ：
x = 84

想一想，我们设的是什么为 x ？对，设的是数学家的年龄为 x ，那么现在它出来了；再回头看看，题中除此之外还要求什么？对，还要求他结婚时的年龄呢！我都差点忘了（这可是大忌哦）！

回过头看表中第 4 行：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x
将 x 代入这个式子：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x = 14+7+12 = 33

我们终于把要求的都求完了，最后一步，别忘记写答啊！所谓应用题，就是用自然语言向我们提出问题，而我们将其转换为数学语言去解决它，所以，最后，你还应该将求得的答案转换为自然的语言回应之，是吧？

用方程解决问题的第四步：作答。

1、数学家丢番图结婚时的年龄是33岁
2、他去世时的年龄是84岁