2、椭圆规

3、缝纫机

4、马耳他十字机芯——用于控制时钟的秒针运动

5、汽车变档机制

6、汽车等速万向节

7、舰炮弹药装填系统

8、转子发动机——内燃机的一种，把热能转为旋转运动而非活塞运动

# via World Of Technology。附从博闻网看到的三个汽车发动机原理图：

1、直列式发动机——它的汽缸肩并肩地排成一排

2、V 型发动机 ——汽缸排列在成一定角度的两个平面上

3、水平对置式发动机 ——汽缸排列在发动机相对的两个平面上

【解】

∵ AB+CD = AC+BD
∴ AB-BD = AC-CD …… ①

又∵ △ABD和△ACD都是直角三角形，根据勾股定理：
AB^2 – BD^2 = AD^2 = AC^2 – CD^2 ，即（根据平方差公式）：
(AB+BD)(AB-BD) = (AC+CD)(AC-CD)  ，参考①式可得：
AB+BD = AC+CD …… ②

将①、②两个等式相加得到等式：
AB-BD + AB+BD = AC-CD + AC+CD ，整理得：
2AB = 2AC

AB = AC ，证毕。

兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价格（以元为单位）恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等。问这顶草帽值多少钱？

【分析】

1. 每只羊的价格恰等于这群羊的只数——表示卖羊的钱是在个平方数，设为X^2

2. 最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元——表示此平方数的十位数是奇数

3. 哥哥最终以草帽折价弥补给弟弟，草帽折多少钱，实际是求最后不足10元的零头是多少。

【解题过程】

实际是找这样一个自然数的平方数，这个平方数的十位是奇数。

任何一个自然数，可以写成 10M+N 的形式，其中：M、N是自然数（也可以是零），0<N<10（根据题意）。那么，可以设卖羊的钱是 (10M+N)^2 。

根据完全平方公式：(10M+N)^2 = (10M)^2 + 2*10M*N + N^2

分析等式右边多项式的每一项对结果的影响：
第一项 (10M)^2 = M^2 * 10^2 = 100*M^2 ，因有系数100，故其结果十位、个位都是 0 ；
第二项 2*10M*N ，因为有因数10和2，故其结果个位是 0 ，而十位必是偶数；
因此，一个自然数的平方，其个位数是几、其十位是奇是偶，完全取决于第三项 N^2 ：N^2 的个位是几结果数的个位就是几，N^2 的十位是奇数则结果就是奇数（偶+奇=奇）、是偶数则结果也是偶数（偶+偶=偶）。

根据题意我们已知，N 是个 1~9 的自然数，其平方列表如下：
1^2=01
2^2=04
3^2=09
4^2=16 *
5^2=25
6^2=36 *
7^2=49
8^2=64
9^2=81
其中，能令 (10M+N)^2 = (10M)^2 + 2*10M*N + N^2 十位上是奇数的 N 值，只能是 4 或 6 ；而无论是4还是6，计算结果的个位都是 6 ；

也就是说，卖羊的钱，不足10元的零头是 6 ，那么草帽的价钱就是 2 元，即哥哥将价值2元的草帽给弟弟，哥哥得钱减2、弟弟得钱加2，零头都是8元。

怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。

例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。

例2将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

例4将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何

以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。

容易得到下图所示的分割与拼接的方法。

例6用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。

分析与解：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。

2．将图形12—19分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形．

3．将一块长6米、宽3.5米的长方形剪成形状相同、面积相等的两块，拼成一个长为5米、宽为4.2米的新的长方形．

4．有一个长100厘米、宽70厘米的长方形桌面，中间损坏了一块．现在想在中间挖去一个长60厘米，宽10厘米的小长方形，如图12—20，然后把它分成两块，拼成一个正方形桌子，应怎么切拼？

5．将图12—21所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中只含有A、B、C、D、E五个字母．

6．如图12—22，有两个正方形．请把每一个正方形分成两块，两个正方形共分成四块，使这四块的形状和大小都相同，并且每一块中都有1、2、3、4四个数字．

答案仅供参考：

  1．切拼方法如图12—1’．

2．因为小方格的个数是36个，所以拼成的一个正方形的边长为6个小方格，将图12-19分成四个形状、大小相同的图形，只需将图12-19从图的对称中心切开即可，如图12-2’，然后按照图12-3’拼成一个正方形．

3．因为新长方形的长比原长方形的长少1米，宽多0.7米，因此将原长方形分成长为1米，宽为0.7米的小长方形，如图12-4’，按阶梯形分法分成相同的两块，然后错位对齐，即可拼成一个新的长方形，如图12-5’．

4．因为拼成的正方形的桌面的面积为：

100×70-60×10=6400（平方厘米）

所以正方形的桌子的边长为80厘米．

原长方形的长减少20厘米，宽增加10厘米．将原长方形分成长为20厘米，宽为10厘米的小长方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，按如图12-6’中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12-7’

5．图中有相同的字母挨在一起时，要从它们之间切开，因此先在它们之间画上切分线，然后将这些切分线绕中心点旋转180°，得到一些切分线，根据切分线进行切分，分成形状、大小相同的两块，每块有18个小方格．本题有两种切法，如图12-8’（1）、（2）．

6．把两个正方形叠在一起考虑．为了便于区别，将其中一组数字1、2、3、4改写为A、B、C、D，如图12-9’，为

了使相同的数字不在同一块，可以先在它们之间画切分线，然后绕中心180°又可以找到一些切分线，根据这些切线将它分割成大小、形状相同的两部分，这两个正方形切分方法如图12-10’（1）、（2）．

【例1】 如图，一个6*6的正方形格子，要求切成形状相同的四份，每份都占有一个圆形。

【我的思路】 根据题意，首先可明确一点：切分后的形状无论如何，它们的面积是相等的，即：切分后的每个形状，必应由9个格子组成。

有了这个基础，我们就从离圆点最远的格子考虑切割方法。

红色方格离各个白色圆点最远，如果想让这个小红方格包含进某个带圆点的形状，只有三种可能：按绿色路径是斜向4格；按蓝色路径是直拐5格；按黄色路径是直向4格。

我们可以直接排除斜向路径方案，因为无论如何左上角的圆点都不够斜向4格了；通过比较简单的测试，我们也可以很快排除直拐方案；那么就只剩下5个方格直线相连一种方案了。

到了这一步，问题就简单多了：我们首先来排布出4个5连格，其实就只有两种排布方案，再无法得到第三种的：

第一种：

第二种：

此时我们发现，只有两个圆点在形状之外，把哪个圆点归入哪个形状？我们很自然地会选择就近原则是吧？好，现在看下图（以上面第一种方案为基础）：

至此，我们实际已经能够分析得出形状的骨干了：

（1）它必须有5个直连方格；
（2）通过绿色部分我们知道，它必须在某端第2个位置垂直伸出去3个方格；
（3）通过蓝色部分我们又知道，它的某端第1位置处至少要叠放两层方格；
（4）而在前面，我们还知道了，整个形状必须由9个方格组成。

相信整理出了以上结论之后，谁都会做余下的工作了。最后结果是这样的：

【思考题】 请您自己用第二种方案练习一下，做法和结果与第一种情况基本一样。

【我的思路】 还是用计算+推理辅助思考的办法。

首先，把每个小正方形边长看作一个长度单位，则这个图形的面积是5个面积单位；把这样一个图形切割后拼接成一个大正方形，其面积自然还是5个单位，那么5个面积单位的大正方形边长是多少呢？应该在2和3之间。

这个结论看似没什么用，实际却意义重大：它启示了我们探索思考的方向：

首先，既然大正方形的边长在2~3之间，那么我们通过简单地水平或垂直分割得到大正方形的可能性就不大，因为水平或垂直分割，只能得到边长要么是3个单位要么是2个单位的形状，所以应该我们放弃在这个方向上的无谓尝试，而专注于探索的以斜线方向剪裁原图。

其次，如果我们熟悉勾股定理（这个好像不在初一数学正常范围内），我们就很容易想到，一个面积为5的正方形的边长，它和两个直边分别为1和2的三角形斜边是相等的，而在原图中，我们很容易通过作图得到这样长度的线段，如下图所示：

至此，我们连斜线的准确裁法也确定了，接下来的工作就是尝试怎样用两刀完成工作。我是这样考虑的：虽然我们找到了与大正方形边长一样的线段（如上图），但这个线段不可能直接拿来做正方形外边，因为这样的形状会带一个钝角，还需要进一步切割（如下力）。

所以，一定是通过某种方式得到回避了钝角的形状，答案如下图所示：

【思考题】 我用两刀完成了工作，你能说出用3刀、4刀分割的方法吗？

古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。”

1、他结婚时的年龄是多少？
2、他去世时的年龄是多少？

首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：

用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。

对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：

一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。

对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。接下来：

用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方程式。

这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：

把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。

这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：

分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x

那么剩下的事情就简单了：

用方程解决问题的第三步：解方程。

解方程也是有现成的套路的，用方程解决问题简单就简单在：你只需要按既定套路按部就班地去思考，而不必像用数学方法解题那样，需要想清楚全部的数学逻辑和数量关系。再回顾一下解方程的套路：

解方程的方法是：
（1）有分母去分母；
（2）有括号去括号；
（3）分母、括号都去完后，合并同类项；
（4）将未知数的系数化 1 ，求出 x 的具体值。

本题没有括号问题，只需要去分母。具体做法可以灵活些，比如，先等式两边同乘以12，化为：

2x+x+12/7x+60+6x+48 = 12x 简单整理：
12/7x+108 = 3x 两边同乘以 7 ：
12x+756 = 21x 合并同类项：
9x = 756 未知数系统化 1 ：
x = 84

想一想，我们设的是什么为 x ？对，设的是数学家的年龄为 x ，那么现在它出来了；再回头看看，题中除此之外还要求什么？对，还要求他结婚时的年龄呢！我都差点忘了（这可是大忌哦）！

回过头看表中第 4 行：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x
将 x 代入这个式子：
数学家结婚时的年龄 = 1/6x+1/12x+1/7x = 14+7+12 = 33

我们终于把要求的都求完了，最后一步，别忘记写答啊！所谓应用题，就是用自然语言向我们提出问题，而我们将其转换为数学语言去解决它，所以，最后，你还应该将求得的答案转换为自然的语言回应之，是吧？

用方程解决问题的第四步：作答。

1、数学家丢番图结婚时的年龄是33岁
2、他去世时的年龄是84岁

第一次把妹

第一次飆車

第一次当模特

第一次喝多了

第一次泡妞

第一次上麦当劳

第一次住宾馆

第一次和这么多禽兽单独在一起

第一次出游

第一次玩人体彩绘

第一次自助餐

第一次桶浴

第一次吃野味

第一次遇见女流氓

第一次真伤心

第一次用耳机听歌

第一次跌倒后有这么多朋友帮忙

第一次和MM玩视频聊天

第一次被爆头了!!!

第一次操劳过度

第一次被侵犯肖像权

第一次拍床戏

第一次强出风头

第一次担心自己的幸福生活

第一次因为太有钱而烦恼

第一次被偷拍

第一次做品牌代言

第一次有了自己的窝

第一次搭便车

第一次捧到“铁饭碗”

第一次身陷艳照门

第一次被拐

第一次有了心灵感应

第一次看见美眉

第一次遇见青蛙王子

中午在对岸王建硕的部落格，看到一个有趣的科学智力测验：

为什么镜子可以颠倒左右，却不可以颠倒上下？

这个问题表面上并不出奇，可是深入一想，确实有点棘手。我们果然很难解释，日常所经验到的「镜像」，为什么在水平方向呈现反相，而在垂直方向却不会。我一向喜欢动脑，所以花了十分钟，做了一个「思想实验」，终于找到自认的解答。

回到王建硕站上，本想贡献一点自己的两毛钱，不过站长已经把答案贴出来了：

因为是绝对定义和相对定义的不同

这个答案跟我的思考结果非常接近。不过不是我老王卖瓜，我还是觉得我的「思想实验」，可能比王建硕的解释更容易让人了解，所以姑且把它写下来让大家参考。以下是我的实验细节：

1. 假设我有魔法，身体可以逆时针转九十度，以水平方式停留在空中；

2. 这时候我的右手边指向天空（上），左手边指向地面（下）；

3. 如果我去照镜子，会在这个镜像里面看到：

• 水平方向原本会有的「反相」不见了，头对头，脚对脚，没有颠倒；
• 但垂直方向原本没有的反相却出现了，真左手对着镜中右手，真右手对着镜中左手；
• 更有趣的现象是，同样在这个垂直方向上，如果我们改用「上下」检查有没有颠倒，会发现，没有颠倒；

4. 所以在垂直方向上，我们检查「上下」是正常的，但检查「左右（手）」却是反相的。

为什么会这样？各位，这是最后机会自己想答案了，不然下面就是解答了。

解释是，「左右」和「上下」虽然同样是我们用来表达方向的词汇，但两者的参考坐标系大不相同。「左右」是个体坐标系，谈的是以个体为主的方位，以我们自身的位置为依据，位置转变（从镜外到镜内），所指的方向就会转变；「上下」则是地球坐标系，比较客观，不会因为我们位置改变而变化方位。

所以无论我们在镜中或镜外，只要谈上下，都不会有「反相」出现，但只要是谈左右，那就一定会出现「反相」，因为镜中的虚像位置跟本我一定不同。「反相」会出现，是因为我们检查的是以个体为主的坐标系的方位用词。

镜子放在地面上人站上去是什么情形？

在上一篇为什么镜像只会左右相反而不是上下颠倒中，我们讨论了一般人日常生活中照镜子的经验，用个体坐标系和地球坐标系的差别，来解释为什么我们会看到镜中影像左右相反的现象。

然后小狗问了个好问题：如果镜子平放在地上呢？

这个问题有点麻烦，我原本不想把它跟前文放在一起谈，因为单单分析日常生活的情况就已经很花力气，再把更多麻烦抓进来讨论，就更麻烦了。但既然已经问起，这里只好试着来分析看看。

对「上下左右」的讨论而言，我们讨论的是一个平面的坐标系，它是跟镜面平行的，只有四个方向要处理。如果镜子平放在地板上而人站上去，那么高度（或纵深）就出现了，原本的讨论是一个二维的平面，加上高度就会变成一个三维的立体空间。

多了一个维度还不算太难，再把镜面由墙面转移到地面，这对坐标系都会造成麻烦，尤其人类对方向的描述还不是那么绝对时，更是麻烦。随便举例，同样是讲「上方」，面对墙面镜时，这个方向是跟镜面平行的，但对地面镜而言，上方却是跟镜面垂直的。

同样讲上方，对地球而言是同方向，但对镜子而言却不是。这样我们讨论问题光是要界定现在是使用那个坐标系就会让人头晕。

还有一个大麻烦是人类使用的方向词汇，基本上都是相对而不是绝对的。例如你在赤道在线，可以很容易地指出东西南北，但当你站在北极顶点，你只能指出南北，而无法指出东西；而同样「上方」这个概念，当你站在南极或北极时，两者所指的方向却是刚好相反的。

所以在讨论三维的镜像问题时，我们应该先解决以下两件事：

一、是找到一个足够稳定的坐标系

我们可以把所有相对不稳定的坐标系方向描述，都换成稳定坐标系的术语，重新描述一次同样现象，这样我们就可以用相同的坐标系讨论相同事情了。我的建议是既然是讨论镜像，那么我们就用镜子本体做为坐标系，最清楚了。

我们找一块长方形镜子，以底边为 x 轴，以相接的长边为 y 轴；垂直于镜面的虚线是 z 轴。如图所示（上面那一撮毛是我家 kiki 一屁股坐在笔记本上的结果）：

这样我们可以获得一个三维空间的立体坐标系。所有方向全部改用各轴线的正或负（＋或－）方向来描述。例如我们面对墙面镜的左手方向，可以换算为 x 轴的负方向；而我们面对地面镜的「上」方，可以换算为 z 轴的正方向。……这样我们就不必再使用会混淆认知的上下或左右了。

二、是定义清楚什么叫做正相，什么叫做反相

很多时候我发现，我们以为的反相，在其他定义里可能是正相（反过来也成立），因此一个「何谓正相，何谓反相」的定义，非常重要，可以避免我们又开始打迷糊仗。我的定义是根据最原始的描述来的，只不过换用三维坐标系的措辞，如下：

• 正相就是：在三维坐标系轴在线，物体两端的方向（如从头指向脚的方向），实像和虚像一致。
• 反相则是：在三维坐标系轴在线，物体两端的方向（如从头指向脚的方向），实像和虚像相反。

用这个定义来检查我们站在墙面镜前面的情况。

• 在 y 轴上，我们看到从脚部指向头部的方向，实像和虚像是一致的；因此我们可以判断，镜面在 y 轴会产生正相。
• 在 x 轴上呢，表面上我们看到实像左手对虚像右手，而实像右手则对着虚像左手，我们的经验法则说这是个反相。但如果我们改用镜面坐标描述。我们让 x 轴正方向的手涂成黑色，而负方向的手涂成白色，那么我们会在镜面上看到什么？没错，不论是从白手指向黑手的方向，或黑手指向白手的，实像和虚像都是一致的。完全没有反相。

同样这双手，当我们用「左右」描述镜像的时候，「反相」发生了，但改用「黑白」描述，正相却会出现。很诡异吧？让我们改用另一个不含「左右」属性的物体来看，可能会更容易解释这件事。

拿一枝铅笔横放在镜面前，笔尖朝向 x 轴正方向，我们会看到什么呢？没错，从笔杆指向笔尖的方向，实像和虚像始终一致。事实上这只笔不管怎么转向，它的实像和虚像始终一致。永远都是正相。为什么照物体的时候，我们看到正相，而照人的时候，我们看到反相？

让我们提供一个更让脑袋撞墙的实验：我们综合上面两种实验，用双手横拿一枝铅笔照镜子。假设你用左手拿笔尖，右手拿笔杆。好了，你在镜子里会看到什么？

有没有看到一个让人困扰的现象？在镜像中，你会发现左右手对调了，而铅笔却没有！是不是有点灵异呢？本来你用左手拿笔尖，在镜子里却变成右手。

答案是：「左右」手会显示成反相，是因为我们的视角虚拟转移了坐标系（改用镜中人的坐标系描述）而造成的。这意思是说，要辨认我们的左右手，我们是站在自己的角度看，但要辨认镜中人的左右手，我们不会用自己的角度看，而会本能地用镜中人的角度看。这个虚拟转移等于把描述左右的坐标系，刚好转了一百八十度── 反相就是这么来的。

所以我们观测的东西，只要没有左右属性，就像铅笔，就不会激起我们转移坐标系的本能（设身处地用镜中人的角度观看），因此我们会看到光学真正的实际情况（就是正相）。

※ ※ ※

好了，这样我们终于可以来到「地面镜」，开始讨论 z 轴了。

※ ※ ※

现在我们来到一面平铺在地板上的强化玻璃镜子（免得有人害怕踩破它），站上去。低头一看，这是个上下颠倒的世界，毫无疑问。我们的问题是，这个颠倒的镜像，是真实，还是虚幻？它当然是虚像，但如同我们在前文证明的，这会不会也是视角虚拟转移造成的结果呢？

我们还是来做个思想实验吧。

在这面地面镜上，我们横放一枝铅笔，无论是沿着 x 轴还是 y 轴放，你都会同意，实体铅笔的镜像是个正相，从笔杆指向笔尖的方向，实像和虚像始终是一致的。

我们先假设铅笔是沿着 y 轴放，接着以笔尖为支点，慢慢拿起笔杆那一边，五度、十度、二十度、三十度……，OK，先停在这里，这时这枝铅笔和镜面成三十度夹角，如下图（画得不好，请见谅）：

请问这时候铅笔的镜像是正相还是反相？从 y 轴的角度看，我们看到的情况是：

• 以铅笔的实像来看：从笔尖到笔杆的方向是正方向；
• 以镜中的虚像来看：从笔尖到笔杆的方向也是正方向；

因为笔杆还是对着笔杆，笔尖还是对着笔尖，所以这毫无疑问必然是正相。可是因为提起笔杆，我们在 z 轴方向也有了可以测量的维度，对 z 轴而言，我们可以看到两个情况：

• 铅笔实像：从笔尖到笔杆的方向是正方向；
• 镜中虚像：从笔尖到笔杆的方向是负方向；

在 z 轴上，这枝铅笔的实像和虚像方向是相反的，那么我们唯一能做的结论只能是：

我们可以在 z 轴看见反相。反相发生在垂直于镜面的 z 轴上，不是 x 轴（左右），也不是 y 轴（上下）。

白话一点说，镜像的奥秘就是原本我们向前看（ z 轴负方向），结果却看到反方向（ z 轴正方向）的东西。地面镜会让我们感觉上下颠倒，原因就在这里。墙面镜一样有同性质的颠倒，但不能称为上下，而应该称为前后颠倒（同样也在 z 轴上）。

最后总结一下， x 轴的反相是人类虚拟转移视角所造成的，不是真的反相，但镜子确实有一重反相，那会发生在 z 轴上。

后记：呼。做这种头脑体操好有趣。虽然很费力。我本来认为即使在 z 轴，也没有反相，不过随着我设计的实验进展，最后还是证明，反相确实存在（但不是在我们以为的地方）。

原文：http://b-oo-k.net/blog/blog.php/2008/336