家庭教室

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原文：http://b-oo-k.net/blog/blog.php/2008/334

中午在对岸王建硕的部落格，看到一个有趣的科学智力测验：

为什么镜子可以颠倒左右，却不可以颠倒上下？

这个问题表面上并不出奇，可是深入一想，确实有点棘手。我们果然很难解释，日常所经验到的「镜像」，为什么在水平方向呈现反相，而在垂直方向却不会。我一向喜欢动脑，所以花了十分钟，做了一个「思想实验」，终于找到自认的解答。

回到王建硕站上，本想贡献一点自己的两毛钱，不过站长已经把答案贴出来了：

因为是绝对定义和相对定义的不同

这个答案跟我的思考结果非常接近。不过不是我老王卖瓜，我还是觉得我的「思想实验」，可能比王建硕的解释更容易让人了解，所以姑且把它写下来让大家参考。以下是我的实验细节：

1. 假设我有魔法，身体可以逆时针转九十度，以水平方式停留在空中；

2. 这时候我的右手边指向天空（上），左手边指向地面（下）；

3. 如果我去照镜子，会在这个镜像里面看到：

• 水平方向原本会有的「反相」不见了，头对头，脚对脚，没有颠倒；
• 但垂直方向原本没有的反相却出现了，真左手对着镜中右手，真右手对着镜中左手；
• 更有趣的现象是，同样在这个垂直方向上，如果我们改用「上下」检查有没有颠倒，会发现，没有颠倒；

4. 所以在垂直方向上，我们检查「上下」是正常的，但检查「左右（手）」却是反相的。

为什么会这样？各位，这是最后机会自己想答案了，不然下面就是解答了。

解释是，「左右」和「上下」虽然同样是我们用来表达方向的词汇，但两者的参考坐标系大不相同。「左右」是个体坐标系，谈的是以个体为主的方位，以我们自身的位置为依据，位置转变（从镜外到镜内），所指的方向就会转变；「上下」则是地球坐标系，比较客观，不会因为我们位置改变而变化方位。

所以无论我们在镜中或镜外，只要谈上下，都不会有「反相」出现，但只要是谈左右，那就一定会出现「反相」，因为镜中的虚像位置跟本我一定不同。「反相」会出现，是因为我们检查的是以个体为主的坐标系的方位用词。

镜子放在地面上人站上去是什么情形？

在上一篇为什么镜像只会左右相反而不是上下颠倒中，我们讨论了一般人日常生活中照镜子的经验，用个体坐标系和地球坐标系的差别，来解释为什么我们会看到镜中影像左右相反的现象。

然后小狗问了个好问题：如果镜子平放在地上呢？

这个问题有点麻烦，我原本不想把它跟前文放在一起谈，因为单单分析日常生活的情况就已经很花力气，再把更多麻烦抓进来讨论，就更麻烦了。但既然已经问起，这里只好试着来分析看看。

对「上下左右」的讨论而言，我们讨论的是一个平面的坐标系，它是跟镜面平行的，只有四个方向要处理。如果镜子平放在地板上而人站上去，那么高度（或纵深）就出现了，原本的讨论是一个二维的平面，加上高度就会变成一个三维的立体空间。

多了一个维度还不算太难，再把镜面由墙面转移到地面，这对坐标系都会造成麻烦，尤其人类对方向的描述还不是那么绝对时，更是麻烦。随便举例，同样是讲「上方」，面对墙面镜时，这个方向是跟镜面平行的，但对地面镜而言，上方却是跟镜面垂直的。

同样讲上方，对地球而言是同方向，但对镜子而言却不是。这样我们讨论问题光是要界定现在是使用那个坐标系就会让人头晕。

还有一个大麻烦是人类使用的方向词汇，基本上都是相对而不是绝对的。例如你在赤道在线，可以很容易地指出东西南北，但当你站在北极顶点，你只能指出南北，而无法指出东西；而同样「上方」这个概念，当你站在南极或北极时，两者所指的方向却是刚好相反的。

所以在讨论三维的镜像问题时，我们应该先解决以下两件事：

一、是找到一个足够稳定的坐标系

我们可以把所有相对不稳定的坐标系方向描述，都换成稳定坐标系的术语，重新描述一次同样现象，这样我们就可以用相同的坐标系讨论相同事情了。我的建议是既然是讨论镜像，那么我们就用镜子本体做为坐标系，最清楚了。

我们找一块长方形镜子，以底边为 x 轴，以相接的长边为 y 轴；垂直于镜面的虚线是 z 轴。如图所示（上面那一撮毛是我家 kiki 一屁股坐在笔记本上的结果）：

这样我们可以获得一个三维空间的立体坐标系。所有方向全部改用各轴线的正或负（＋或－）方向来描述。例如我们面对墙面镜的左手方向，可以换算为 x 轴的负方向；而我们面对地面镜的「上」方，可以换算为 z 轴的正方向。……这样我们就不必再使用会混淆认知的上下或左右了。

二、是定义清楚什么叫做正相，什么叫做反相

很多时候我发现，我们以为的反相，在其他定义里可能是正相（反过来也成立），因此一个「何谓正相，何谓反相」的定义，非常重要，可以避免我们又开始打迷糊仗。我的定义是根据最原始的描述来的，只不过换用三维坐标系的措辞，如下：

• 正相就是：在三维坐标系轴在线，物体两端的方向（如从头指向脚的方向），实像和虚像一致。
• 反相则是：在三维坐标系轴在线，物体两端的方向（如从头指向脚的方向），实像和虚像相反。

用这个定义来检查我们站在墙面镜前面的情况。

• 在 y 轴上，我们看到从脚部指向头部的方向，实像和虚像是一致的；因此我们可以判断，镜面在 y 轴会产生正相。
• 在 x 轴上呢，表面上我们看到实像左手对虚像右手，而实像右手则对着虚像左手，我们的经验法则说这是个反相。但如果我们改用镜面坐标描述。我们让 x 轴正方向的手涂成黑色，而负方向的手涂成白色，那么我们会在镜面上看到什么？没错，不论是从白手指向黑手的方向，或黑手指向白手的，实像和虚像都是一致的。完全没有反相。

同样这双手，当我们用「左右」描述镜像的时候，「反相」发生了，但改用「黑白」描述，正相却会出现。很诡异吧？让我们改用另一个不含「左右」属性的物体来看，可能会更容易解释这件事。

拿一枝铅笔横放在镜面前，笔尖朝向 x 轴正方向，我们会看到什么呢？没错，从笔杆指向笔尖的方向，实像和虚像始终一致。事实上这只笔不管怎么转向，它的实像和虚像始终一致。永远都是正相。为什么照物体的时候，我们看到正相，而照人的时候，我们看到反相？

让我们提供一个更让脑袋撞墙的实验：我们综合上面两种实验，用双手横拿一枝铅笔照镜子。假设你用左手拿笔尖，右手拿笔杆。好了，你在镜子里会看到什么？

有没有看到一个让人困扰的现象？在镜像中，你会发现左右手对调了，而铅笔却没有！是不是有点灵异呢？本来你用左手拿笔尖，在镜子里却变成右手。

答案是：「左右」手会显示成反相，是因为我们的视角虚拟转移了坐标系（改用镜中人的坐标系描述）而造成的。这意思是说，要辨认我们的左右手，我们是站在自己的角度看，但要辨认镜中人的左右手，我们不会用自己的角度看，而会本能地用镜中人的角度看。这个虚拟转移等于把描述左右的坐标系，刚好转了一百八十度── 反相就是这么来的。

所以我们观测的东西，只要没有左右属性，就像铅笔，就不会激起我们转移坐标系的本能（设身处地用镜中人的角度观看），因此我们会看到光学真正的实际情况（就是正相）。

※ ※ ※

好了，这样我们终于可以来到「地面镜」，开始讨论 z 轴了。

※ ※ ※

现在我们来到一面平铺在地板上的强化玻璃镜子（免得有人害怕踩破它），站上去。低头一看，这是个上下颠倒的世界，毫无疑问。我们的问题是，这个颠倒的镜像，是真实，还是虚幻？它当然是虚像，但如同我们在前文证明的，这会不会也是视角虚拟转移造成的结果呢？

我们还是来做个思想实验吧。

在这面地面镜上，我们横放一枝铅笔，无论是沿着 x 轴还是 y 轴放，你都会同意，实体铅笔的镜像是个正相，从笔杆指向笔尖的方向，实像和虚像始终是一致的。

我们先假设铅笔是沿着 y 轴放，接着以笔尖为支点，慢慢拿起笔杆那一边，五度、十度、二十度、三十度……，OK，先停在这里，这时这枝铅笔和镜面成三十度夹角，如下图（画得不好，请见谅）：

请问这时候铅笔的镜像是正相还是反相？从 y 轴的角度看，我们看到的情况是：

• 以铅笔的实像来看：从笔尖到笔杆的方向是正方向；
• 以镜中的虚像来看：从笔尖到笔杆的方向也是正方向；

因为笔杆还是对着笔杆，笔尖还是对着笔尖，所以这毫无疑问必然是正相。可是因为提起笔杆，我们在 z 轴方向也有了可以测量的维度，对 z 轴而言，我们可以看到两个情况：

• 铅笔实像：从笔尖到笔杆的方向是正方向；
• 镜中虚像：从笔尖到笔杆的方向是负方向；

在 z 轴上，这枝铅笔的实像和虚像方向是相反的，那么我们唯一能做的结论只能是：

我们可以在 z 轴看见反相。反相发生在垂直于镜面的 z 轴上，不是 x 轴（左右），也不是 y 轴（上下）。

白话一点说，镜像的奥秘就是原本我们向前看（ z 轴负方向），结果却看到反方向（ z 轴正方向）的东西。地面镜会让我们感觉上下颠倒，原因就在这里。墙面镜一样有同性质的颠倒，但不能称为上下，而应该称为前后颠倒（同样也在 z 轴上）。

最后总结一下， x 轴的反相是人类虚拟转移视角所造成的，不是真的反相，但镜子确实有一重反相，那会发生在 z 轴上。

后记：呼。做这种头脑体操好有趣。虽然很费力。我本来认为即使在 z 轴，也没有反相，不过随着我设计的实验进展，最后还是证明，反相确实存在（但不是在我们以为的地方）。

原文：http://b-oo-k.net/blog/blog.php/2008/336